CHM 501 Lecture Summary

CHM 501 Lecture

Find all the terms for the d³ configuration:

To describe each microstate, use the notation: (m_l^±, m_l^±, m_l^±) where + means m_s =+ ½ and - means m_s =- ½

maximum possible L = 5 (2⁺, 2^-, 1⁺), so M_L = 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5

maximum possible S = 3/2 (2⁺, 1⁺, 0⁺), so M_S = 3/2, 1/2, -1/2, -3/2

Build and fill the bookkeeping matrix:

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-) (2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺) (2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-) (2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺) (2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-) (2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺) (2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺) (2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-) (2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺) (1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺) (2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-) (1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺) (1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-) (2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺) (1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-) (1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-) (1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

The total number of microstates = (N_l =2[2(2)+1] =10, x =3), which matches the number in the matrix.

Now find terms:

First term is M_L = 3 , M_S =3/2 giving ⁴F

The degeneracy of the ⁴F state is [2(3)+1]×[2(3/2)+1] = 28, so 28 microstates must be eliminated.

red denoted states eliminated by ⁴F:

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-) (2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺) (2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-) (2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺) (2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-) (2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺) (2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺) (2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-) (2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺) (1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺) (2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-) (1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺) (1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-) (2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺) (1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-) (1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-) (1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

The next state found is M_L =1, M_S =3/2, which is ⁴P, accounting for 12 microstates (green)

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-) (2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺) (2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-) (2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺) (2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-) (2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺) (2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺) (2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-) (2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺)(1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺)(2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-) (1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺) (1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-)(2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺) (1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-) (1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-)(1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

The next state found is M_L =5, M_S =1/2, which is ²H, accounting for 22 microstates (blue)

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-) (2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺) (2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-) (2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺) (2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-) (2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺) (2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺) (2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-) (2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺)(1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺)(2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-) (1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺) (1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-)(2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺) (1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-) (1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-)(1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

The next state found is M_L =4, M_S =1/2, which is ²G, accounting for 18 microstates (pink)

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-) (2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺) (2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-) (2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺) (2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-)(2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺) (2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺)(2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-) (2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺)(1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺)(2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-)(1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺) (1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-)(2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺) (1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-) (1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-)(1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

The next state found is M_L =3, M_S =1/2, which is ²F, accounting for 14 microstates (turquoise)

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-)(2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺)(2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-)(2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺)(2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-)(2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺) (2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺)(2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-) (2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺)(1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺)(2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-)(1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺) (1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-)(2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺)(1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-) (1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-)(1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

The next state found is M_L =2, M_S =1/2, which is ²D, accounting for 10 microstates (yellow)

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-)(2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺)(2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-)(2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺)(2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-)(2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺)(2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺)(2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-) (2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺)(1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺)(2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-)(1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺)(1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-)(2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺)(1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-)(1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-)(1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

The next state found is another M_L =2, M_S =1/2, which is ²D, accounting for 10 microstates (teal)

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-)(2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺)(2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-)(2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺)(2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺)(2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-)(2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-)(2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺)(2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺)(2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-)(2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺)(1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺)(2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-)(1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺)(1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-)(2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺)(1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-)(1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-)(1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

The next state found is M_L =1, M_S =1/2, which is ²P, accounting for 6 microstates (violet)

M_L\M_S 3/2 1/2 -1/2 -3/2

5 (2⁺, 2^-, 1⁺) (2^-, 2⁺, 1^-)

4 (2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-) (2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)

3 (2⁺, 1⁺, 0⁺) (2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺)
(2⁺, 1⁺, 0^-)(2⁺, 2^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-)
(2^-, 1^-, 0⁺)(2^-, 2⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, 0^-)

2 (2⁺, 1⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1⁺, -1^-)(2⁺, 0⁺, 0^-)
(1⁺, 1^-, 0⁺)(2⁺, 2^-, -2⁺)
(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -1⁺)(2^-, 0^-, 0⁺)
(1^-, 1⁺, 0^-)(2^-, 2⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -1^-)

1 (2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺) (2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺, 1⁺, -2^-)(2^-, 0⁺, -1⁺)
(2⁺, 0^-, -1⁺)(2⁺, 0⁺, -1^-)
(1⁺, 0⁺, 0^-)(1⁺, 1^-, -1⁺)
(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-)
(2^-, 1^-, -2⁺)(2⁺, 0^-, -1^-)
(2^-, 0⁺, -1^-)(2^-, 0^-, -1⁺)
(1^-, 0^-, 0⁺)(1^-, 1⁺, -1^-)
(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)

0 (2⁺,0⁺,-2⁺)(1⁺,0⁺,-1⁺) (2^-,0⁺,-2⁺)(2⁺,0^-,-2⁺)
(2⁺,0⁺,-2^-)(1^-,0⁺,-1⁺)
(1⁺,0^-,-1⁺)(1⁺,0⁺,-1^-)
(2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)
(2⁺,0^-,-2^-)(2^-,0⁺,-2^-)
(2^-,0^-,-2⁺)(1⁺,0^-,-1^-)
(1^-,0⁺,-1^-)(1^-,0^-,-1⁺)
(2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)
(2^-,0^-,-2^-)(1^-,0^-,-1^-)

-1 (-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺) (-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺)
(-2⁺, -1⁺, 2^-)(-2^-, 0⁺, 1⁺)
(-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-)
(-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)
(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-)
(-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-)
(-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺)
(-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)
(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)

-2 (-2⁺, 1⁺, -1⁺) (-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺)
(-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-)
(-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)
(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺)
(-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)
(-2^-, 1^-, -1^-)

-3 (-2⁺, -1⁺, 0⁺) (-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺)
(-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)
(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-)
(-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)
(-2^-, -1^-, 0^-)

-4 (-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-) (-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)

-5 (-2⁺, -2^-, -1⁺) (-2^-, -2⁺, -1^-)

This is all of the terms: ⁴F (28), ⁴P (12), ²H (22), ²G (18), ²F (14), ²D (10), ²D (10), ²P (6)

28 + 12 + 22 + 18 + 14 + 10 +10 +6 = 120, so all microstates are accounted for.

To find the J values:

⁴F M_L= 3, M_S =3/2 so J = 9/2, 7/2, 5/2, 3/2 and the terms become ⁴F_9/2, ⁴F_7/2, ⁴F_5/2, ⁴F_3/2

⁴P M_L= 1, M_S =3/2 so J = 5/2, 3/2, 1/2 and the terms become ⁴P_5/2, ⁴P_3/2, ⁴P_1/2

²H M_L= 5, M_S =1/2 so J = 11/2, 9/2 and the terms become ²H_11/2, ²H_9/2

²G M_L= 4, M_S =1/2 so J = 9/2, 7/2 and the terms become ²G_9/2, ²G_7/2

²F M_L= 3, M_S =1/2 so J = 7/2, 5/2 and the terms become ²F_7/2, ²F_5/2

²D M_L= 2, M_S =1/2 so J = 5/2, 3/2 and the terms become ²D_5/2, ²D_3/2

(this is the same for both ²D terms)

²P M_L= 1, M_S =1/2 so J = 3/2, 1/2 and the terms become ²P_3/2, ²P_1/2

Energy order predicted by Hund�s rules (less than ½ filled):

⁴F_3/2< ⁴F_5/2< ⁴F_7/2< ⁴F_9/2<⁴P_1/2< ⁴P_3/2< ⁴P_5/2< ²H_9/2< ²H_11/2< ²G_7/2< ²G_9/2< ²F_5/2< ²F_7/2< ²D_3/2~ ²D_3/2< ²D_5/2~²D_5/2<²P_1/2< ²P_3/2

For a more quantitative consideration of multielectron systems requires better wavefunctions or the introduction of fudge factors. We convert multielectron systems to hydrogen-like systems by introducing the effective nuclear charge, Z*:

Z* = Z - S

Z* = effective nuclear charge

Z = true nuclear charge

S = screening or shielding constant

Can find S a number of ways: Clementi and Raimondi used accurate numerical calculations to fit S to experiment.

Easier, less quantitatively accurate method is Slater�s: he used the radial (n) and nodal (l) characteristics of hydrogenic wavefunctions to establish shielding constants:

Slater�s rules:

1. Write electron configurations according to principal quantum number, grouping s and p orbitals: (1s)(2s2p)(3s3p)(3d)(4s4p)(4d)(4f)...
2. Any electron to the right of the selected electron is ignored (contributes 0 to S)
3. If the electron under consideration is in an (nsnp) group:

a) all other electrons in the same group contribute 0.35/e to S (except 1s, 0.30)
b) all electrons in the n-1 shell contribute 0.85/e to S
c) all electrons in n-2 and lower shells contribute 1.00/e to S

4. If the electron under consideration is in an (nd) or (nf) group:

a) all other electrons in the same group contribute 0.35/e to S
b) all electrons to the left of the selected group contribute 1.00/e to S

Periodic Trends in Z* : Z* increases to the right on the Periodic Table, increases as go down the Periodic Table.

M_L\M_S	3/2	1/2	-1/2	-3/2
5		(2⁺, 2^-, 1⁺)	(2^-, 2⁺, 1^-)
4		(2⁺, 2^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 1^-)	(2^-, 2⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 1⁺)
3	(2⁺, 1⁺, 0⁺)	(2^-, 1⁺, 0⁺) (2⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 1⁺, 0^-) (2⁺, 2^-, -1⁺)	(2⁺, 1^-, 0^-) (2^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 1^-, 0⁺) (2^-, 2⁺, -1^-)	(2^-, 1^-, 0^-)
2	(2⁺, 1⁺, -1⁺)	(2^-, 1⁺, -1⁺) (2⁺, 1^-, -1⁺) (2⁺, 1⁺, -1^-) (2⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, 0⁺) (2⁺, 2^-, -2⁺)	(2⁺, 1^-, -1^-) (2^-, 1⁺, -1^-) (2^-, 1^-, -1⁺) (2^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, 0^-) (2^-, 2⁺, -2^-)	(2^-, 1^-, -1^-)
1	(2⁺, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 0⁺, -1⁺)	(2^-, 1⁺, -2⁺) (2⁺, 1^-, -2⁺) (2⁺, 1⁺, -2^-) (2^-, 0⁺, -1⁺) (2⁺, 0^-, -1⁺) (2⁺, 0⁺, -1^-) (1⁺, 0⁺, 0^-) (1⁺, 1^-, -1⁺)	(2⁺, 1^-, -2^-) (2^-, 1⁺, -2^-) (2^-, 1^-, -2⁺) (2⁺, 0^-, -1^-) (2^-, 0⁺, -1^-) (2^-, 0^-, -1⁺) (1^-, 0^-, 0⁺) (1^-, 1⁺, -1^-)	(2^-, 1^-, -2^-) (2^-, 0^-, -1^-)
0	(2⁺,0⁺,-2⁺) (1⁺,0⁺,-1⁺)	(2^-,0⁺,-2⁺) (2⁺,0^-,-2⁺) (2⁺,0⁺,-2^-) (1^-,0⁺,-1⁺) (1⁺,0^-,-1⁺) (1⁺,0⁺,-1^-) (2⁺, -1⁺, -1^-) (1⁺, 1^-, -2⁺)	(2⁺,0^-,-2^-) (2^-,0⁺,-2^-) (2^-,0^-,-2⁺) (1⁺,0^-,-1^-) (1^-,0⁺,-1^-) (1^-,0^-,-1⁺) (2^-, -1^-, -1⁺) (1^-, 1⁺, -2^-)	(2^-,0^-,-2^-) (1^-,0^-,-1^-)
-1	(-2⁺, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, 0⁺,1⁺)	(-2^-, -1⁺, 2⁺) (-2⁺, -1^-,2⁺) (-2⁺, -1⁺, 2^-) (-2^-, 0⁺, 1⁺) (-2⁺, 0^-, 1⁺) (-2⁺, 0⁺, 1^-) (-1⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 1⁺)	(-2⁺, -1^-, 2^-) (-2^-, -1⁺,2^-) (-2^-, -1^-, 2⁺) (-2⁺, 0^-, 1^-) (-2^-, 0⁺, 1^-) (-2^-, 0^-, 1⁺) (-1^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 1^-)	(-2^-, -1^-, 2^-) (-2^-, 0^-,1^-)
-2	(-2⁺, 1⁺, -1⁺)	(-2^-, -1⁺, 1⁺) (-2⁺, -1^-,1⁺) (-2⁺, -1⁺, 1^-) (-2⁺, 0⁺, 0^-) (-1⁺, -1^-, 0⁺) (-2⁺, -2^-,2⁺)	(-2⁺, -1^-, 1^-) (-2^-, -1⁺,1^-) (-2^-, -1^-, 1⁺) (-2^-, 0^-, 0⁺) (-1^-, -1⁺, 0^-) (-2^-, -2⁺,2^-)	(-2^-, 1^-, -1^-)
-3	(-2⁺, -1⁺, 0⁺)	(-2^-, -1⁺, 0⁺) (-2⁺, -1^-,0⁺) (-2⁺, -1⁺, 0^-) (-2⁺, -2^-,1⁺)	(-2⁺, -1^-, 0^-) (-2^-, -1⁺,0^-) (-2^-, -1^-, 0⁺) (-2^-, -2⁺,1^-)	(-2^-, -1^-, 0^-)
-4		(-2⁺, -2^-, 0⁺) (-2⁺,-1⁺,-1^-)	(-2^-, -2⁺, 0^-) (-2^-,-1^-,-1⁺)
-5		(-2⁺, -2^-, -1⁺)	(-2^-, -2⁺, -1^-)